Lógica Aristotélica e Lógica Formal Moderna

por jonasscherer

Acerca da discussões anteriores e elementares sobre lógica, um pequeno texto, bastante introdutório, a respeito de algumas distinções e formalizações possíveis e fundamentais no tocante à lógica aristotélica do ponto de vista da lógica formal moderna.

SALIENTO que o post contém alguns problemas de formatação, donde ser necessário prestar um pouco mais de atenção em detalhes de simbolização. Não pretendo corrigir o arquivo. Foi algo que escrevi há muitos anos e serve apenas como referência para pessoas que não sabem nada sobre lógica.

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INTRODUÇÃO

 

A pergunta que inicia toda a empreitada deste trabalho é: qual a diferença fundamental entre a lógica aristotélica e a lógica moderna? Para responder a essa pergunta foi necessário, primeiro, procurar e identificar os elementos principais da lógica aristotélica e, posteriormente, pensá-los a partir da perspectiva da lógica moderna.

O leitor notará que, nos capítulos 1 e 2, distinguimos entre lógica aristotélico-medieval e lógica aristotélica, e, no capítulo 3, apresentamos os problemas inerentes às  relações de oposição do quadrado lógico (ou quadrado de oposições) através de uma análise desse quadrado a partir da perspectiva da lógica moderna.

Embora a exposição do tema central seja de caráter estritamente lógico, não tornamos suficientemente clara sem investigar, ainda que de forma secundária, o caráter ontológico que permeia a lógica aristotélica. Daí resulta, como foco secundário, a abordagem de temas os quais podem ser assim divididos: a) a presença de termops singulares (compreendidos em toda a sua extensão) na lógica tradicional: b) a omissão dos termos singulares na lógica aristotélica: c) as definições dos elementos básicos de um silogismo na lógica tradicional e na lógica aristotélica e suas dessemelhanças.

Neste trabalho não tivemos nenhuma pretensão de originalidade, pois que, aqui, o objetivo é mostrar os aspectos fundamentais, já conhecidos, que tornam a lógica aristotélica e a lógica moderna tão diferentes. É por isso que nos baseamos amplamente nas obras de Jan Łukasiewicz  (1977) e Paulo Roberto Margutti Pinto (2006) para estruturar e desenvolver o cerne de nossa investigação, o que é rapidamente perceptível durante a leitura deste trabalho.

Outra característica importante é a distinção  entre lógica aristotélica e lógica tradicional, ou aristotélico-medieval. Essa distinção foi necessária porque, como dissemos, a  intenção é analisar as diferenças entre a lógica aristotélica e a lógica moderna, e não propriamente a lógica tradicional, que teve a sua forma definitiva fixada a partir de alterações feitas no sistema lógico de Aristóteles.

As alterações feitas no sistema lógico de Aristóteles começam já com seus discípulos Eudemo e Teofrasto, que redefinem a primeira figura silogística para que ela possa incluir todo o silogismo no qual o termo médio seja sujeito de uma premissa e predicado de outra (BOCHENSKI, 1987), incluindo, por este meio e entre diversas  outras alterações, cinco tipos de silçogismos não-modais (Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo e Frisesomorum) que Aristóteles apenas insinua em Analíticos Primeiros.

Este ciclo de alterações passa depois pela escola megárica-estóica, que procura complementar a lógica aristotélica formulando desde formas alternativas de silogismos até um sistema completo de lógica proposicional. (KING e SHAPIRO, 1995).

Tais alterações são as mais marcantes, e talvez as mais diretas, feitas ao sistema original de Aristóteles. É importante notar que, dentre tantas alterações, não foram todas adotadas, de sorte que, como veremos ao longo deste escrito, a lógica tradicional é extremamente similar à aristotélica.

Outros autores de influência no desenvolvimento da lógica tradicional são: Porfírio, Cícero e Boécio (do final do Império Romano): o escolástico bizantino Filópono e os árabes Al-Farabi, Avicena e Averróis. Estes são os autores mais significativos durante um período (aproximadamente do século IV ao século IX) sob o qual há poucos desenvolvimentos do sistema lógico aristotélico, senão que um grande número de elaborações didáticas, mnemônicas, traduções, comentários e manuais de lógica.

Então, no século XII, Abelardo escreve  a obra intitulada “Dialetica” (sic), constituindo elaboradas discussões sobre conversão, oposição, quantidade, qualidade, tipos de reduções, entre diversos outros temas. As discussões de Abelardo fazem parte de um extenso leque de desenvolvimento que não é incorporadointegralmente à lógica tradicional. Assim como eudemo e Teofrasto, bem como a escola megárica-estóica, elaboraram diversas alterações diretas para o sistema silogístico aristotélico, depois de Abelardo também outros medievais procuraram desenvolver uma teopria lógica que completasse, ou substituísse, a de Aristóteles, como é o caso das teorias de suposição e das consequencias, desenvolvidas por lógicos como William de Ockham, Gregório de Rimini, Alberto da Saxônia e Jean Buridan, no século XIV. Ainda assim, ante essa amplidão de alterações, revisões, comentários e debates, pouco disso tudo foi reunido e formulado de maneira que até nós chegasse, como é de supor pela quantidade de autores aqui citados, uma lógica totalmente diversa da de Aristóteles, sendo necessário deixar claro que, de tudo isso que expusemos, a partir dessa perspectiva histórica, apenas alguns detalhes (expostos nos capítulos 1 e 2) foram modificados em relação à silogística aristotélica.

Por fim, reunindo a tradição medieval e aristotélica, surge a Lógica de Port-Royal (L´Art de Penser), publicada em 1662, escrita por Antoine Arnauld e Pierre Nicole. É nessa obra que encontramos a definição de lógica (lógica é a arte de raciocinar) que é ainda corrente em alguns manuais de lógica tradicional e também o último trabalho vultoso sobre lógica até o surgimento da era moderna e da introdução de raízes matemáticas na lógica, tendo o seu ponto culminante em Frege, que desenvolve, no século XIX, o modelo de lógica que hoje chamamos “lógica modrna”.

Segue, assim, o primeiro capítulo, destinado a explicitar os elementos básicos da lógica tradicional, clarificando este veloz tour  histórico que elaboramos para que uma breve idéia das origens da lógica pudesse emergir.

 

1 Lógica tradicional ou aristotélico-medieval

 

 

Há um sistema lógico, fundamentado no silogismo, que tem a sua invenção, ou descoberta, atribuída, e com razão, a Aristóteles. Esse sistema perdurou durante cerca de dois mil anos, com poucas alterações. Ainda hoje é ensinado em universidades, embora a sua importância tenha sido reduzida devido ao surgimento, na segunda metade do século XIX, da lógica matemático-formal. O nome que se dá, comumente, a esse sistema é o de lógica aristotélico-medieval e, muitas vezes, simplesmente “lógica aristotélica”, ou “lógica tradicional”.

Tal sistema lógico nomeia-se “aristotélico-medieval” porque, depois da sua fundação por Aristóteles, foi ligeiramente modificado e sistematizado de forma didática e com diversos recursos de memorização, por medievais como Boécio, Abelardo e Chartres. Entanto, nessa lógica tradicional é possível divisar a existência de algumas diferenças fundamentais entre a silogística, tal qual Aristóteles a concebeu, e a silogística aceita como tradicional. Contudo, embora encontremos diferenças sutis, algumas nem tanto, entre a lógica tradicional e a aristotélica propriamente dita, os problemas que esse modelo originou, principalmente em relação ao quadrado de oposições, são os mesmos, basicamente, tanto para a lógica aristotélica quanto para a tradicional.

 Mas primeiro é preciso explicitar os elementos básicos da lógica aristotélico-medieval para, por fim, encontrar as diferenças que jazem entre a lógica de Aristóteles e a lógica tradicional, possibilitando assim uma abordagem mais clara dos problemas que ambas contêm no tocante ao quadrado de oposições.

Na lógica aristotélico-medieval a base de toda operação lógica é o silogismo. Um silogismo é o encadeamento de três proposições no qual, de um antecedente que une dois termos a um terceiro, infere-se um conseqüente que une estes dois termos a si. Por isso, fundamentalmente, a sua forma é inferencial (Entende-se por inferência o processo através do qual, de uma ou mais proposições, chega-se a uma outra proposição já contida nas proposições anteriores, aqui denominada “conclusão”):

                                              

                                               (1)

                                               Todo homem é mortal

                                               Pedro é homem_____

                                               Pedro é mortal

 

Os elementos que constituem um silogismo são: premissas, conclusão, cópula, e termos. Definidas como aquilo que aparece, ou que se coloca antes da conclusão, as premissas são sempre duas e levam o nome de Premissa Maior (“Todo homem é mortal”, no silogismo (1) ) e Premissa Menor (“Pedro é homem”). A Premissa maior carrega esse nome porque é aquela que contém o termo de maior extensão, e a Premissa Menor é assim chamada por conter o termo de menor extensão. A Conclusão, que se segue às premissas, é, obviamente, “Pedro é mortal”. (VICENTE e CLEVERSON, 2000). Cópula é o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado. No caso da proposição “Todo homem é mortal”, a cópula está representada pelo verbo “é”.

Por termos entendem-se os elementos contidos em uma premissa. Os termos são divididos em: termo maior, termo médio e termo menor. No silogismo (1) o termo maior é “mortal”, o termo médio, “homem” e o termo menor, “Pedro”. A razão pela qual os termos são assim denominados, de acordo com VICENTE e CLEVERSON (2000, p. 50) é a de que o termo maior é aquele termo de maior extensão,  o termo menor, o de menor extensão, e o termo médio, aquele que apresenta uma extensão maior do que a do termo menor e menor do que a do termo maior. Temos também, nos termos, o sujeito e o predicado lógicos. O sujeito lógico é o termo que antecede a cópula, e o predicado lógico o termo que fica após a cópula.

Quanto à extensão, as premissas são universais ou particulares. “Todo” e “nenhum”, quando adicionados ao sujeito, são os signos da universalidade e “algum” e “algum não”, ou “nem todo”, são signos da particularidade.

Até aqui temos uma exposição sucinta dos elementos básicos de um silogismo. Contudo, há ainda um conjunto de elementos fundamentais que rege a formulação de um silogismo, a saber, as relações lógicas entre os quantificadores (quantidade), e afirmações e negações acerca de uma proposição (qualidade). Muito embora tenhamos exposto as características essenciais dos quantificadores, as relações que estes têm entre si não podem deixar de ser elucidadas, pois é delas que emana, indispensavelmente, a correção ou incorreção de um silogismo e, portanto, a sua validade.

Existem oito regras que regem a validade de um silogismo. São elas: 1) todo silogismo contém somente 3 termos: maior, médio e menor; 2) os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas; 3) o termo médio não pode entrar na conclusão; 4) o termo médio deve ser universal ao menos uma vez; 5) de duas premissas negativas, nada se conclui; 6) de duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa; 7) a conclusão segue sempre a premissa mais fraca; 8) de duas premissas particulares, nada se conclui.

Em negrito, grifamos as expressões que estão diretamente ligadas aos quantificadores e relações lógicas fundamentais que o quadrado de oposições representa. As regras 1, 3 e 7, que nada de grifado possuem, ainda assim remetem ao quadrado de oposições, visto que os termos, como vimos, são definidos pela sua extensão, e a conclusão, seguindo a premissa mais fraca, se orienta pelas relações internas dessa mesma premissa.

Vejamos, pois, uma representação do quadrado de oposições:

 

 QUADRADO DE OPOSICOES

             Figura 1: quadrado de oposições ou quadrado lógico (elaborado pelo autor)

 

 

Partindo de Vicente e Cleverson (2000, p. 59), o quadrado acima proporciona a visualização das relações de oposição entre as proposições. Reunindo os elementos de quantidade (quantificadores) e qualidade (afirmação e negação), podemos classificar as proposições como: (A) universais afirmativas; (E) universais negativas; (I) particulares afirmativas e (O) particulares negativas. Podemos igualmente classificar quatro tipos de oposição entre as proposições: as contrárias, subcontrárias, contraditórias e subalternas.

As proposições universais que se opõem entre si pela qualidade, uma afirmando e a outra negando um mesmo predicado de um mesmo sujeito, são chamadas contrárias. A relação de contrariedade é aquela sob a qual duas proposições contrárias não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas. Elas convêm entre si na quantidade e podem também convir na falsidade.

Subcontrárias são proposições particulares que se opõem pela qualidade. Enquanto uma afirma um mesmo predicado de um mesmo sujeito, particularmente, a outra nega. A relação de subcontrariedade é aquela sob a qual duas proposições não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras. Elas convêm entre si na quantidade e podem convir na qualidade.

 As proposições contraditórias são as que possuem o mesmo sujeito e o mesmo predicado, mas diferem tanto em qualidade quanto em quantidade. A relação de contraditoriedade é aquela sob a qual duas proposições não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo. Tais proposições não convêm em nada entre si, nem qualidade, nem quantidade, verdade ou falsidade.

As proposições subalternas são as proposições particulares em relação às universais, quando possuem a mesma qualidade. Embora esta seja uma relação de oposição fraca, podemos estabelecer a relação de subalternação, onde, se a universal é verdadeira, a particular também o é, e se  a particular é falsa, a universal também o é. Daí a se dizer que vige, entre elas, a relação de implicação, onde a universal é condição suficiente  da particular e, por contraposição, a particular é condição necessária da universal. (MArgutti, 2006, p. 245)

Há, no entanto, dois detalhes restantes, mas não por isso menos importantes. O primeiro é que sujeito e predicado lógicos dependem unicamente da posição que ocupam em uma determinada proposição de um silogismo, sendo que o mesmo termo, no mesmo silogismo, pode ser tanto sujeito quanto predicado, em proposições diferentes, como no silogismo abaixo:

 

                                              

(2)

                                               Todos os homens são mortais

                                               Todos os gregos são homens_                                                                                       Todos os gregos são mortais

                                              

No silogismo (2) o termo “homens” é sujeito na premissa maior e predicado na premissa menor. Exemplos como esse são muito freqüentes porque o termo médio, quando se encontra posicionado como no silogismo acima, é característico da primeira figura silogística, na qual temos, na premissa maior, o termo médio como sujeito e o maior como predicado; na premissa menor o termo menor como sujeito e o termo médio como predicado e, na conclusão, o termo menor como sujeito e o termo maior como predicado. Na segunda, terceira e quarta figuras silogísticas também é possível encontrar um termo que ocupa a posição de sujeito e depois de predicado.

O segundo detalhe é a presença de termos singulares na formulação de silogismos:

                                  

                                               (3)

                                               Todos os homens são mortais

                                               Sócrates é homem__________

                                               Sócrates é mortal

 

Também em Sexto Empírico é possível encontrar um silogismo da mesma forma, só que em lugar do termo “mortais” consta o termo “animal”.

A presença de um termo singular é importante porque é ela uma grande diferença entre aquilo que se denomina “lógica aristotélico-medieval” e a lógica aristotélica enquanto sistematização efetuada por Aristóteles no Organon. Isso ocorre porque Aristóteles não reconhecia como possível o fato de que um termo singular fosse predicado com verdade de outro termo qualquer. No silogismo (4) temos um exemplo de utilização de um termo singular em sua formulação, mas que é compreendido de uma forma diversa, como veremos agora.

O silogismo abaixo, retirado do manual de lógica de Vicente e Cleverson (2000, p. 89), nos fornece um exemplo de silogismo válido em que um termo singular aparece como sujeito e como predicado:

 

 

                                               (4)

                                               Pedro é homem

                                               Todo homem é mortal

                                               Algum mortal é Pedro

 

O termo singular ao qual nos referimos é “Pedro” e, cabe aqui, ainda uma ressalva a respeito deste último silogismo. Definimos anteriormente o termo maior como aquele de maior extensão. Se dividirmos em classes os termos do silogismo (4), veremos que “Pedro” está contido na classe “homem” e “homem” contido na classe “mortal”. Portanto o termo de maior extensão é “mortal”. Por isso a premissa maior, como aquela que contém o termo de maior extensão, deveria ser “Todo homem é mortal”. Vicente e Cleverson (2000, p. 90) prentendem que o termo maior seja “Pedro”, porque Pedro é tomado em toda sua extensão, e, assim, legitimam o silogismo (4). Destarte, segundo Vicente e Cleverson (2000) o termo “Pedro” contém os termos “animal” e “homem”. Como veremos no Capítulo 2, em última instância a definição dos termos como maior, menor e médio, da forma como é apresentada aqui, oferece alguns problemas até agora irresolutos, concernentes à extensão dos termos. Os problemas são relativos à definição inexistente de termo maior e menor, válida para todas as figuras silogísticas e a impossibilidade de definição de extensão dos componentes das premissas quando um silogismo é formalizado com o auxílio de variáveis.

  Resta-nos, agora, passar à especificação de fundamentais diferenças entre a lógica aristotélico-medieval e a lógica propriamente aristotélica.

 

 

 

 

2 A lógica aristotélica

 

 

No Capítulo 1 terminamos por mencionar uma disparidade fundamental entre a lógica tradicional e a lógica aristotélica propriamente dita. Essa disparidade é a inclusão de termos singulares, como “Sócrates”, no silogismo (4), na formulação de um silogismo. Dissemos que Aristóteles não reconhecia a possibilidade de termos singulares serem tanto sujeitos como predicados em qualquer premissa de um silogismo.

Embora a omissão dos termos singulares na lógica de Aristóteles seja a diferença mais importante entre a lógica aristotélico-medieval e a lógica aristotélica, existem ainda outras diferenças, a respeito dos elementos básicos de um silogismo, que não podem deixar de ser mencionadas. É assim porque, a partir das diferenças mais elementares, reunimos elementos para explicitar com clareza essa diferença fundamental citada anteriormente, visto que é também presente essa mesma diferença entre a lógica aristotélico-medieval e a lógica aristotélica, fortemente, na lógica moderna.

Sobre os detalhes dos elementos básicos da lógica aristotélica temos uma leitura muito precisa elaborada, em 1950, pelo filósofo e matemático polonês Jan Łukasiewicz, em sua obra La Silogística de Aristóteles desde el Punto de Vista de la Lógica Formal Moderna. Embora La Silogística… trate a lógica aristotélica do ponto de vista da lógica formal, antes dessa empreitada o filósofo polonês explicita, a partir do texto grego do Organon, definições e detalhes da estrutura elementar do silogismo aristotélico que, pela lógica tradicional, passam despercebidas. Embora utilizemos termos próprios da lógica moderna para descrever a forma do silogismo de Aristóteles, como “conjunção” e “implicação”, estes servem como elementos descritivos daquilo que se mostra de forma gramatical na lógica aristotélica, antes de formalizações que compreendem as regras básicas inerentes ao sistema de lógica moderna, de maneira que, quando afirmamos o silogismo aristotélico como sendo, originalmente, uma implicação, queremos dizer que contêm a conjunção subordinativa condicional “se…então” e não que, necessariamente, tenha de seguir e de se conformar a todas as características e necessidades que a forma S Þ P acarreta.

Similar ao Capítulo 1, começaremos expondo os elementos básicos da silogística aristotélica, comparando-a com aquilo que ilustramos anteriormente, a começar pela forma do silogismo. Pela lógica tradicional temos um silogismo inferencial, como o silogismo (1), enquanto que Aristóteles estabelece a forma do silogismo como uma implicação que tem a conjunção das premissas como o antecedente e a conclusão como o conseqüente. Seja exemplo o silogismo abaixo, extraído de uma passagem de Analíticos Posteriores (ii 16. 98b 5-10):

 

                                               (5)

                                               Se todas as plantas de folha larga são velhas

                                               e todas as parreiras são plantas de folha larga

                                               então todas as parreiras são velhas

 

Neste exemplo temos um silogismo que contêm termos que Łukasiewicz (XXX,p. 14) classifica como “não pertencentes à lógica”, os quais são “plantas de folha larga”, “velhas” e “parreiras”. No intuito de detalhar ainda mais a forma do silogismo em Aristóteles, Łukasiewicz elimina os termos “não pertencentes à lógica” e fornece um exemplo formulado com a ajuda de letras (variáveis), retirado de Analíticos Primeiros:

 

                                               (6)

                                               Se A é predicado de todo B

                                               e B é predicado de todo C

                                               então A é predicado de todo C (Analíticos 1 i 4, 25b37)

 

Há uma diferença entre os silogismos (5) e (6): quando formula silogismos com a ajuda de letras, Aristóteles coloca o predicado em primeiro lugar e o sujeito em segundo. Além disso, usa, em vez da expressão “Todo A é B”, a expressão “A é predicado de todo B”, ou “A pertence a todo B” (Łukasiewicz, 1977, p.14), de maneira que se aplicarmos ao silogismo (5) essa forma, teremos um silogismo idêntico ao (6). Assim pudemos mostrar a forma do silogismo tal qual Aristóteles a concebeu.

No Capítulo 1 definimos, ainda, as premissas, a conclusão, a cópula (que é sempre o verbo que exprime a relação entre o sujeito e o predicado)  e os termos. Sobre as premissas, enquanto compreendidas como aquilo que se coloca antes da conclusão, Łukasiewicz contrapõe a definição que Aristóteles dá em Analíticos Primeiros: “Uma premissa é uma sentença que afirma ou nega algo de algo” (Aristóteles apud Łukasiewicz, 1977, p.15). Ora, sendo assim, a conclusão é também uma premissa, de maneira que o silogismo aristotélico tem três premissas (premissa maior, premissa menor e conclusão), e não duas, como se postula tradicionalmente. Sobre essa ligeira definição não pesa alteração evidente, visto que parece mais uma questão de nomenclatura geral das premissas. Mas agora deparamo-nos com a questão dos termos maior, médio e menor, já que premissa maior é, segundo a doutrina tradicional, aquela que contém o termo de maior extensão e a premissa menor a que contém o termo de menor extensão. Levantamos o problema da extensão dos termos logo após a exposição do silogismo (4), no Capítulo 1.

O fato (Łukasiewicz, 1977, p33.34) é que há um erro que Aristóteles cometeu em Primeiros Analíticos. Esse erro é acerca da definição dos termos maior, médio e menor, tal como ocorrem na caracterização da primeira figura.  Aristóteles começa da seguinte forma:

 

 

Sempre que três termos estão relacionados uns com os outros de modo que o último está contido no médio e o médio está contido ou não no primeiro, os extremos formarão um silogismo perfeito. […] Chamo termo médio àquele que está contido em outro e contém em si mesmo um outro, resultando ser também médio pela sua posição (ARISTÓTELES apud Łukasiewicz, 1977, p. 33)

 

 

Depois disso Aristóteles investiga as formas silogísticas da primeira figura com premissas universais e não utiliza as expressões “termo maior” e “termo menor”. Tais expressões aparecem pela primeira vez nos modos da primeira figura com premissas particulares, onde encontramos a definição: “Chamo termo maior aquele em que o termo médio está contido e termo menor aquele que está compreendido sob o termo médio” (ARISTÓTELES apud Łukasiewicz, 1977, p. 33). Estas explicações dos termos maior e menor , bem como do termo médio,  podem ser aplicadas apenas a silogismos do modo Bárbara, com termos concretos e premissas verdadeiras, como no exemplo abaixo:

 

                                               (7)

                                               Se todos os pássaros são animais

                                               e todos os corvos são pássaros,

                                               então todos os corvos são animais (Łukasiewicz, p. 33)

 

Nesse silogismo há um termo, “pássaro”, que está contido em outro termo, “animal”, e contém em si um terceiro termo, “corvo”. De acordo com a explicação dada por Aristóteles, “pássaro” seria o termo médio e, por conseguinte, “animal” seria o termo maior e “corvo” o termo menor. É evidente que o termo maior é denominado como tal porque é o mais extenso e o menor o menos extenso.

Agora, se substituímos os termos concretos por variáveis, elaborando um silogismo válido, temos o modo Bárbara:

 

                                               (8)

                                               Se todo B é A

                                               e todo C é B

                                               então todo C é A

 

Compreendendo que o silogismo (8) é uma forma silogística válida e também uma lei lógica, pois deve ser válida para quaisquer termos que substituam as variáveis, nele não podemos determinar através da extensão dos termos qual seja o maior, o médio e o menor, visto que entre variáveis é impossível determinar relações de extensão. Podemos afirmar que B é o sujeito na primeira premissa e o predicado na segunda, mas não podemos afirmar que B contenha A ou que contenha C, pois o silogismo (8) é verdadeiro para todos os valores das variáveis A, B e C. Tomemos “pássaro” por A, “corvo” por B e “animal” por C:

 

 

 

 

                                               (9)

                                               Se todos os corvos são pássaros

                                               e todos os animais são corvos

                                               então todos os animais são pássaros (ŁUKASIEWICZ  p. 34)

 

Em (9) obtemos um silogismo válido. As relações de extensão entre os termos “corvo”, “pássaro” e “animal” são, sem dúvida, independentes dos modos silogísticos e continuam sendo no silogismo (9) as mesmas que eram no silogismo (7). Contudo, o termo “pássaro” não é o termo médio no silogismo (9), como era no (7), pois corvo é o termo médio em (9), visto que ocorre em ambas as premissas, e o termo médio deve ser comum a ambas as premissas. É esta a definição de termo médio aceita por Aristóteles para todas as premissas (ANALITICOS 1, i 32, 47 a 38)

Se confrontarmos essa explicação sobre o termo médio com a explicação restrita que Aristóteles dá para a primeira figura, notaremos que são incompatíveis. Quanto aos termos maior e menor, Aristóteles não dá uma definição desses termos válida para todas as figuras silogísticas. Ele trata o predicado da conclusão como o termo maior e o sujeito da conclusão como termo menor, praticamente. Łukasiewicz (xxx, p.34)  indica que essa terminologia induz a erro. No silogismo (9) o termo “pássaro” é menor em extensão que o termo “animal”. Na dificuldade em aceitar o silogismo (9) porque a sua premissa menor é falso, podemos substituir “todos os animsi” por “alguns animais”, de maneira que:

 

                                               (10)

                                               Se todos os corvos são pássaros

                                               e alguns animais são corvos

                                               então alguns animais são pássaros (ŁUKASIEWICZ  p. 34

)

 

O silogismo (10) é um silogismo válido do modo Darii, com premissas verdadeiras. E nele, assim como no silogismo (9), o termo mais extenso, “animal”, é o termo menor; “pássaro” é o termo maior, embora seja médio em extensão e o termo de menor extensão, “corvo” é o termo médio.

Essas dificuldades são ainda maiores se tomamos como exemplo silogismos com premissas negativas, como o modo Celarent:

 

                                               (11)

                                               Se nenhum B é A

                                               e todo C é B

                                               então nenhum C é A

 

Neste silogismo B é o termo médio. Contundo, ele coaduna com as condições dispostas por Aristóteles para o termo médio da primeira figura? Não. Qual dos termos, C ou A, é o maior e qual o menor? Como comparar estes termos em relação a sua extensão?. Parece não haver resposta positivas a essas perguntas, pois partem de um erro de origem. (ŁUKASIEWICZ  p. 34).

Ainda assim, ante tais problemas, é possível identificar os termos quando Aristóteles realiza a exposição sistemática da silogística. Ele usa letras diferentes para denotar termos diferentes e para cada figura coloca as letras em ordem alfabética dizendo, explicitamente, qual termo é denotado por uma determinada letra.

Essa discussão a respeito da definição dos termos leva-nos, novamente, a uma outra: a da ordem das premissas. Quando definimos premissa maior e premissa menor, dissemos que a premissa maior é aquela que contém o termo de maior extensão e a premissa menor a que contém o termo de menor extensão. Se entendermos que o termo maior é o termo de maior extensão, então, embora o problema da definição dos termos maior e menor persista, podemos identificar a premissa maior no texto Aristotélico, quando temos termos concretos e premissas verdadeiras, com facilidade, e, ao menos com relativa facilidade, no caso de variáveis, quando da exposição sistemática das figuras silogísticas.

Mas a premissa maior é sempre a primeira? A essa questão podemos responder primeiramente com alguns casos mencionados por Łucasiewicz. Não exporemos os silogismo aqui, mas mencionaremos apenas a sua forma:

 

Aristóteles põe primeiro a premissa maior em todos os modos da primeira e segunda figuras e em dois modos da terceira, Darapti e Ferison. Nos restantes modos da terceira figura, Felapton, Disamis, Datisi e Bocardo, a premissa menor está colocada em primeiro lugar. O exemplo mais conspícuo é o modo Datisi. Este modo é formulado no mesmo capítulo duas vezes. Em ambas as formulações as letras são as mesmas, mas as premissas estão invertidas. A primeira formulação diz: ‘Se R pertence a algum S, e P a todo S, P deve pertencer a algum R’. A primeira premissa deste silogismo é a menor, pois contém o termo R. A segunda formulação diz: ‘Se P pertence a todo S, e R a algum S, então P pertence a algum R’. A primeira premissa deste segundo silogismo é a premissa maior, pois contém o termo maior P. Deve-se prestar atenção ao fato de que esta segunda formulação é dada somente de uma maneira ocasional, enquanto que a fórmula normal deste modo, que pertence à exposição sistemática, é enunciada com as premissas transpostas. (Łucasiewicz, xxx, p. 37)

 

 

É importante salientar, para que se compreenda plenamente a citação acima, que, como dissemos, Aristóteles organiza os termos das figuras silogísticas, em sua exposição sistemática, através de letras, em ordem alfabética, e cada letra corresponde a um termo específico (maior, médio e menor). No caso da citação acima, temos as letras P, R e S, onde P é o termo maior, R o menor e S o médio (Analíticos Primeiros i, 6, 28 a 10)

Agora já temos as principais diferenças delimitadas (entre a lógica tradicional e a lógica aristotélica): o silogismo aristotélico é uma implicação, e não uma inferência; as premissas, em última instância, são todas as proposições que compõem o silogismo, e não apenas as duas que antecedem a conclusão; o termo médio é aquele que é comum à premissa maior e à menor; o termo maior é o mais extenso (para silogismos com termos concretos e premissas verdadeiras) e o termo menor, o de menor extensão (também para silogismos com termos concretos e premissas verdadeiras). A premissa maior é aquela que contém o termo maior e a premissa menor a que contém o termo menor. A premissa maior não precisa, necessariamente, aparecer por primeiro em um silogismo.

Os elementos que abordamos até aqui, e de maneira indireta comparando-os aos elementos definidos na lógica tradicional, continham todos diferenças sutis (com exceção da cópula), do ponto de vista tradicional para o aristotélico propriamente dito. Fizemos uma exposição prolongada na caracterização dos termos maior, médio e menor no intuito de clarificar alguns problemas, já mencionados, que das definições aristotélicas do termo surgiram. Porém, o quadrado de oposições, tal qual exposto na Figura 1, em nada difere das relações de oposição presentes em Aristóteles. São uma sistematização didática fiel à do Estagirita. E há, finalmente, a questão dos termos singulares presentes em silogismos, como no caso dos silogismos (3) e (4). Essa questão, dela falamos como sendo a principal questão para a elucidação das disparidades entre a lógica aristotélica e a lógica moderna, e consiste no fato de que Aristóteles omite os termos singulares do seu sistema lógico.

O papel dos termos é fundamental para se pensar a posição do sujeito, e também do predicado, na lógica aristotélica. Aristóteles nada diz a respeito dos termos nos Analíticos Primeiros. É em De Interpretatione que Aristóteles  chama de universal aquele termo que é de tal natureza  que é predicado de muitos sujeitos, como “animal”, por exemplo. Um termo que não tenha esta propriedade é denominado singular. Łukasiewicz observa também que um termo não-universal não é necessariamente singular, pois pode ser vazio, e que Aristóteles não considera em seu sistema lógico os termos vazios. . (Łucasiewicz, 1977)

Sendo assim, importa-nos aqui apenas o que Aristóteles considerou: os termos singulares e os termos universais. Embora estejamos dividindo os termos entre universais e singulares, Aristóteles estabelece, em verdade, um conjunto de elementos. Esse conjunto de elementos é a divisão que Aristóteles faz de todas as coisas. Ele faz uma divisão de três classes: (i) daquelas que não podem ser predicadas com verdade de nenhuma coisa; (ii) das coisas que são predicadas de outras, mas nada anterior é predicado delas; (iii) das coisas que podem ser predicadas de outras e outras delas. (Aristóteles apud  Łukasiewicz, P. 16). Sobre (i) temos como exemplo Cleon e Callias, ou o individual e o sensível. É importante notar que, embora essa classe (i)  de coisas não possa ser predicada de nenhuma coisa com verdade, outras coisas podem ser predicadas delas, como “homem” ou “animal”. Sobre a classe (ii), Aristóteles nenhum exemplo fornece, mas Łukasiewicz complementa, afirmando que “é claro que Aristóteles se refere ao que é mais universal, como o ser, to on” (Łukasiewicz, P. 16). Na classe (iii) temos, por exemplo, “homem”,  que pode ser predicado de “Callias”, e “animal”, que pode ser predicado de “homem”. Aristóteles diz, ainda, que as argumentações e as perguntas versam sobre a classe de coisas  exposta em (iii). (Aristóteles apud  Łukasiewicz, P.16).

É possível que elaboremos questões acerca dessa divisão que Aristóteles fez, ou que levantemos objeções, como a de que não é verdade que as argumentações e as perguntas versam apenas sobre a classe de coisas (iii). Mas isso não é importante para entender o motivo da omissão dos termos singulares. É suficiente sabermos que Aristóteles considerou como verdadeiras as três divisões que elaborou sobre as coisas e eliminou de seu sistema aquelas classes de termos que, em sua opinião, não eram passíveis de ser tanto sujeitos como predicados de proposições verdadeiras. Assim, é essencial para a silogística aristotélica que o mesmo termo possa ser usado tanto como sujeito quanto predicado, sem qualquer restrição. 

Sendo o universal a única classe que pode ser sujeito e também predicado em um mesmo silogismo, é, pois, a respeito do universal que o silogismo fala de forma direta, quando do uso de termos concretos. Ainda que utilizando variáveis, como no silogismo (11), podemos identificar um mesmo termo, como “B”, ocupando a função de sujeito em uma premissa e a de predicado em outra, daí a compreendê-lo como algo que pode ser predicado de outras coisas e outras coisas dele, exatamente como a classe (iii).

Um termo universal, como “animal”, não existe independentemente de, mas é inerente a, uma substância primária e é ontologicamente dependente dessa substância primária. A substância, em sentido primário, é aquilo que não é nem predicável de um sujeito e nem presente em um sujeito, como o homem ou o cavalo enquanto individuais. As substâncias primárias são propriamente chamadas “substâncias” em razão de serem as entidades que subjazem a tudo o mais, e que tudo o mais é predicado delas ou presente nelas, de forma que, quando temos um silogismo com termos concretos, esses termos remetem sempre à substância primária, mas nunca tratam dela diretamente.

Sobre essa relação indireta entre a substância secundária, os universais, e a substância primária, o individual, Aristóteles apresenta essa relação como uma relação de implicação existencial:

 

 

 

 

 

 

Poder-se-ia mesmo pôr em dúvida que as palavras ‘caminhar’, ‘gozar saúde’, ‘estar sentado’ impliquem a existência de cada uma das coisas mencionadas, e do mesmo modo nos demais casos desta espécie, pois nenhuma delas subsiste por si mesma ou pode ser separada da substância, mas antes merece o nome de ser existente o que caminha, está sentado ou goza saúde. Estes nos aparecem como mais reais porque repousam sobre algo definido (a saber, a substância ou o indivíduo) que um tal predicado implica, pois nunca usamos as palavras ‘bom’ ou ‘sentado’ sem uma implicação dessa espécie. Como se vê, é em virtude desta categoria que cada uma das outras também é. (CATEGORIAS,1028 a20-30)

 

 

Dessa forma, podemos notar que a omissão dos termos singulares se dá na medida em que esses mesmos termos omissos se fazem presentes de maneira indireta, sendo notável o fato de que, embora estejam excluídos do sistema lógico de Aristóteles, não só participam dos seus resultados (quando tomamos silogismos com termos concretos), como também são a base sobre a qual a possibilidade de todo silogismo assenta.

É importante salientar que Aristóteles não utiliza, de forma alguma, nem termos nem premissas singulares na formulação de silogismos com termos concretos. Há termos singulares apenas em proposições utilizadas para servir de base à afirmação de Aristóteles segundo a qual termos singulares são predicados de algo com verdade apenas incidentalmente, como no caso da proposição “Este que se aproxima é Sócrates” (ANALITICOS 1, i 27, 43ª33).

Assim, quanto à questão dos termos singulares, enquanto na lógica aristotélico-medieval acredita-se que um termo singular, como “Pedro”, possa ser tomado em toda a sua extensão, deixando assim de ser encarado como singular, Aristóteles disso não dá exemplos e nem faz menção direta. Mesmo assim, em nenhum dos dois modelos supracitados encontramos termos singulares, ainda que a concepção de “Pedro” como extenso em sua totalidade acarrete problemas relacionados ao quadrado de oposições, como veremos no Capítulo 3.

Tendo aclarado as diferenças sutis entre a lógica tradicional e a lógica aristotélica, bem como compreendido a questão da omissão dos termos singulares do sistema lógico de Aristóteles, juntamente das implicações ontológicas que tal omissão carrega, resta-nos analisar as diferenças entre a lógica aristotélica e a lógica moderna, no sentido de compreender os pontos fundamentais que diferem um sistema do outro.

 

3 o problema jaz no quadrado de oposições

 

 

Disso que chamamos, eufemisticamente, de “transição” da lógica tradicional para a lógica moderna, temos que fazer duas distinções: a primeira é de ordem ontológica, a respeito da omissão dos termos e premissas singulares, como expusemos no Capítulo 2; a segunda é de ordem lógica, em relação ao quadrado de oposições, exposto no Capítulo 1.

A diferença de ordem ontológica é a de que, em Aristóteles, aqueles termos que são singulares possuem a característica de ser substância primeira, sobre a qual são embasados os termos universais, os quais, quanto à classe de sujeito e predicado, em uma proposição, dependem apenas da posição que ocupam em determinada proposição. Por essa razão não é necessário que tais termos (singulares) sejam abrangidos no sistema silogístico de Aristóteles, pois que, tratando dos termos universais, que sempre se reportam aos singulares, indiretamente se está a tratar também dos termos singulares, enquanto que, na lógica moderna, não há uma ontologia que especifique quais termos (e classes de) podem e quais não podem ser sujeito ou predicado de uma sentença.

A diferença de ordem lógica é perceptível, do ponto de vista da lógica moderna, a partir do quadrado de oposições (Figura 1). No Capítulo 1 vimos que as proposições poderiam ser contrárias, subcontrárias, contraditórias e subalternas, e que as relações entre as proposições poderiam ser de contrariedade,  subcontrariedade, contraditoriedade e subalternação.

Dessas relações extraímos algumas questões que ficaram sem solução quando pensadas unicamente a partir da lógica tradicional. A primeira delas é mais apropriadamente exposta como um problema da lógica aristotélico-medieval, pois é originada quando se compreende uma sentença singular, como “Arthur foi sanguinário” a uma universal. Uma sentença como essa não existe na lógica puramente aristotélica, pois que ela não admite qualquer termo singular e tampouco Aristóteles menciona termos singulares como considerados em sua totalidade.

Contudo, sentenças como “Arthur é sanguinário” não podem ser verdadeiras e nem falsas ao mesmo tempo,diferentemente de “Todo homem é mortal”, que tem contraditória (Algum homem não é mortal) e contrária (Nenhum homem é mortal), “Arthur é sanguinário” só tem contraditória (Arthur não é sanguinário). Então sentenças como “Arthur é sanguinário” são contraditórias, e não contrárias, como seria de se esperar devido a sua equiparação às universais (Margutti, 2006)

Ainda nesse escopo, de sentenças como “Arthur é sanguinário” encontramos o problema de que as relações de contrariedade, subcontrariedade e subalternação não levam em conta  a presença da conotação existencial apenas nas particulares. E isso é demonstrável do ponto de vista simbólico. Seja o exemplo determinado pelas sentenças:

 

Arthur é sanguinário

e

Arthur não é sanguinário

 

Reescrevendo-as simbolizando “Arthur” por “a” e “sanguinário” por “S”:

 

Sa

e

~Sa

 

Nesse exemplo a diferença entre as duas sentenças está na negação, onde quando uma delas é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. Dessa forma, as sentenças singulares de mesmo predicado que diferem na qualidade são contraditórias (MArgutti, xxx)

Quando a sentença possui sujeito indeterminado acoplado a um única predicado, formando um aberto, ocorre o mesmo:

 

Um indivíduo qualquer é belo

e

Um indivíduo qualquer não é belo

 

Simbolicamente:

 

Bx

e

~Bx

 

Neste exemplo ainda permanece a relação de contradição.

Agora, quando quantificamos esses abertos, obtemos as quatro sentenças do quadrado de oposições:

 

‘(x)Bx’  (‘tudo é belo’)

‘(x)~Bx’ (‘nada é belo’)

‘(∃x)Bx’ (‘algo é belo’)

‘(∃x)~Bx’ (‘algo não é belo’)

 

Se supomos que a classe representada pelo predicado ‘Bx’ não seja vazia, ela terá as seguintes relações: a) as universais ‘(x)Bx’ e ‘(x)~Bx’ não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo e por isso são contrárias. B) as sentenças dos pares ‘(x)Bx’/’(x)~Bx’ e ‘(x)~Bx’/’(x)Bx’ não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo. São contraditórias. C) as particulares’(∃x)Bx’ e ‘(x)~Bx’ podem ser verdadeiras, mas não falsas ao mesmo tempo, por isso são subcontrárias. D) as sentenças dos pares ‘(x)Bx’/’(∃x)Bx’ e ‘(x)~Bx’/’(∃x)~Bx’, sendo que as universais implicam suas respectivas particulares, podem ser verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo, e por isso são subalternas. (MArgutti, 2006)

Desse modo, o clássico quadrado de oposições vale para elas: (Margutti, 2006)

 

QUADRADO DE OPOSICOES 2

Figura 2: quadrado de oposições – 2 (elaborado por Margutti)

Até aqui consideramos proposições que classificamos como próprias da lógica aristotélico-medieval e, partindo dessas formulações, podemos agora considerar o caso das sentenças com dois predicados e quantificadores, próprias da lógica aristotélica, para analisar em que consistem as suas relações, abaixo simbolizadas:

 

Todo S é P (A)                                              (x) (Sx->Px) (A)

Nenhum S é P (E)                                         (x) (Sx->~Px) (E)

Algum S é P (I)                                              (x) (Sx&Px) (I)

Algum S não é P (O)                                     (x) (Sx&~Px) (O)

 

As relações vigentes entre essas sentenças são: a) as sentenças dos pares ‘(x) (Sx->Px)’/ ‘(x) (Sx&~Px)’ e ‘(x) (Sx->~Px)’/ ‘(x) (Sx&Px)’  são contraditórias, pois não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo; b) as sentenças universais ‘(x) (Sx->Px)’ e ‘(x) (Sx->~Px)’ podem ser verdadeiras ao mesmo tempo; c) as sentenças particulares ‘(x) (Sx&Px)’ e ‘(x) (Sx&~Px)’ podem ser falsas ao mesmo tempo; d) as sentenças dos pares ‘(x) (Sx->Px)’/‘(x) (Sx&Px)’ e ‘(x) (Sx->~Px)’/‘(x) (Sx&~Px)’ não são mais subalternas, porque a verdade das universais não implica a verdade das particulares e nem a falsidade das particulares implica a falsidade das universais.

Desta forma, do quadrado de oposições aristotélico resta:

 

 

Quadrado 3Figura 3: quadrado de oposições – 3

 

 

Podemos notar, então, a julgar pela nova forma que o quadrado de oposições adquire frente a essa análise, que as relações lógicas do quadrado de oposições tradicional valem apenas para sentenças quantificadas que possuem um único predicado, como “Tudo é belo”, simbolizada por ‘(x)Bx’.  Em sentenças quantificadas com mais de um predicado, as relações tradicionais de oposição não são válidas, como no caso de sentenças como “Todo S é P”, simbolizada ‘(x) (Sx->Px)’. (MARGUTTI, 2006). Nesses casos, pois, a única relação remanescente é a de contradição.

Essa breve análise demonstra que a interpretação das sentenças tradicionais pela lógica moderna é capaz de mostrar com maior precisão as relações lógicas que ocorrem entre as sentenças aqui analisadas. É claro que, além disso, a lógica moderna oferece uma extensa variedade de possibilidades para análise e formalização de diversos tipos de proposições e encadeamentos de proposições, incluindo casos com o envolvimento de três ou mais predicados e sentenças universais que se referem a classes vazias.

 

CONCLUSÃO

 

Depois de reunir os elementos da lógica tradicional, aristotélica, e os seus problemas que se tornam evidentes do ponto de vista da lógica moderna, devêm perceptível que o sistema lógico moderno não é diretamente dependente de uma ontologia, podendo formalizar ontologias diferentes, e que nesse sistema é possível utilizar sentenças universais que se referem a classes vazias, elaborar proposições e encadeamentos de proposições que contêm termos singulares e sujeito e predicado lógicos não são dependentes da posição que ocupam em uma proposição.

Por outro lado, o sistema lógico de Aristóteles depende de uma ontologia bem definida, baseada no conceito de essência e exposta nas obras: Categorias, Metafísica e De Interpretatione. Essa ontologia restringe os termos da lógica aristotélica a termos universais que, necessariamente, devem poder ser tanto sujeitos quanto predicados, em um mesmo silogismo, excluindo os termos singulares do sistema silogístico, ignorando termos vazios e permitindo apenas casos que envolvam dois predicados. Faz com que, em última instância, sujeito e predicado lógicos dependam apenas da posição que ocupam em um silogismo ou proposição.

Além disso, a lógica aristotélica fundamenta-se nas relações de oposição entre as proposições, ilustradas no quadrado lógico, e descreve as relações de contrariedade, subcontrariedade, subalternidade e contraditoriedade, relações estas que desaparecem quando encaramos tais relações a partir da lógica moderna, que nos possibilita que se descrevam de forma muito mais exata as relações de oposição que se pode estabelecer entre as proposições no quadrado de oposiçõies, eliminando as relações de contrariedade, subcontrariedade e subalternação, restando apenas a relação de contraditoriedade.

A lógica aristotélica, em sentido amplo, pode ser chamada também de onto-lógica, visto que se vale de elementos externos ao seu sistema, ontologicamente determinados, para a fundamentação de suas relações de oposição e também das diretrizes sobre quais elementos podem e quais não podem ser incluídos em seu sistema, como no caso dos termos singulares.

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

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KELLER, V: BASTOS, C. L.. Aprendendo Lógica. Petrópolis: Vozes, 2003.

 

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ŁUKASIEWICZ, J. La Silogística de Aristóteles desde el Punto de Vista de la Lógica Formal Moderna. Madrid: Editorial Tecnos, 1977.

 

MARGUTTI, Paulo Roberto. Introdução à Lógica Simbólica. Belo Horizonte: UFMG, 2006.

 

RUSSEL, B.. History of Western Philosophy. Florida: HarpperCollins Publishers, 1984.

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